वर्ग एवं अंक

वर्ग एवं अंक क्या है?

यह रीजनिंग का वह भाग है जिसमें किसी चित्र में छुपे सभी वर्ग व त्रिभुज गिनना, तथा किसी अंक की संख्याओं की एक सीमा में आवृत्ति गिनना होता है। दोनों ही दृश्य सतर्कता व व्यवस्थित गिनती कौशल जांचते हैं, CG TET/CGPSC रीजनिंग खंड के लिए।

परिचय

यह विषय दो क्लासिक पहेली प्रकारों को कवर करता है: किसी चित्र में छुपे सभी वर्गों या त्रिभुजों को गिनना (केवल सबसे छोटे नहीं), व यह गिनना कि कोई विशेष अंक संख्याओं की एक सीमा में कितनी बार दिखाई देता है।

ग्रिड में वर्ग गिनना

एक ग्रिड केवल उसकी सबसे छोटी कोशिकाओं से नहीं बना होता — कोशिकाओं को मिलाकर बने बड़े वर्ग भी गिने जाते हैं।

उदाहरण: एक वर्ग को 2×2 ग्रिड (4 छोटी कोशिकाएं) में विभाजित किया गया है। कुल कितने वर्ग हैं?

• 1×1 वर्ग: 4 (चार छोटी कोशिकाएं)।
• 2×2 वर्ग: 1 (पूरा बाहरी वर्ग)।
• कुल: 4 + 1 = 5 वर्ग।

उदाहरण: एक वर्ग को 3×3 ग्रिड (9 छोटी कोशिकाएं) में विभाजित किया गया है। कुल कितने वर्ग हैं?

• 1×1 वर्ग: 9। 2×2 वर्ग: 4। 3×3 वर्ग: 1।
• कुल: 9 + 4 + 1 = 14 वर्ग।

पैटर्न: n×n ग्रिड हेतु, 1×1, 2×2, ... n×n वर्गों को अलग-अलग गिनें, फिर सभी को जोड़ें।

त्रिभुज गिनना

उदाहरण: एक त्रिभुज के तीन भुजा-मध्यबिंदुओं को एक साथ जोड़ा जाता है, जिससे इसके अंदर 4 छोटे त्रिभुज बनते हैं (3 "कोने" त्रिभुज + 1 "मध्य" त्रिभुज)। कुल कितने त्रिभुज दिखाई देते हैं?

• 4 छोटे त्रिभुज (सबसे छोटे टुकड़े) + 1 बड़ा त्रिभुज (मूल बाहरी त्रिभुज)।
• कुल: 4 + 1 = 5 त्रिभुज।

अंक-गणना पहेलियां

ये पूछती हैं कि संख्याओं की एक सीमा लिखते समय एक विशेष अंक कितनी बार दिखाई देता है।

उदाहरण: 1 से 99 तक सभी संख्याएं लिखते समय अंक 7 कितनी बार दिखाई देता है?

• इकाई स्थान में: 7, 17, 27, 37, 47, 57, 67, 77, 87, 97 → 10 बार।
• दहाई स्थान में: 70, 71, 72, ..., 79 → 10 बार।
• कुल: 10 + 10 = 20 बार।

यही विधि (इकाई-स्थान की घटनाएं गिनें, फिर दहाई-स्थान की, फिर जोड़ें) 1 से 99 तक किसी भी अंक हेतु काम करती है।

एक शिक्षक के लिए यह क्यों महत्वपूर्ण है

ये गणना पहेलियां एक व्यवस्थित, श्रेणी-दर-श्रेणी दृष्टिकोण को पुरस्कृत करती हैं (पहले 1×1 वर्ग गिनें, फिर 2×2, फिर 3×3; इकाई-स्थान अंक गिनें, फिर दहाई-स्थान) सब कुछ एक साथ गिनने की कोशिश करने के बजाय — छात्रों को अपनी समस्या-समाधान को व्यवस्थित करना सिखाने हेतु एक उपयोगी आदत।

संक्षिप्त पुनरावलोकन

• n×n ग्रिड में वर्ग: 1×1, 2×2, ... n×n वर्गों को अलग-अलग गिनें, फिर उन्हें जोड़ें।
• एक 2×2 ग्रिड में कुल 5 वर्ग हैं (4 छोटे + 1 बड़ा)। एक 3×3 ग्रिड में कुल 14 वर्ग हैं (9+4+1)।
• त्रिभुज के भुजा-मध्यबिंदुओं को जोड़ने से 4 छोटे त्रिभुज + 1 बड़ा = कुल 5 त्रिभुज बनते हैं।
• अंक-गणना: इकाई-स्थान की घटनाएं गिनें, फिर दहाई-स्थान की, फिर उन्हें जोड़ें।
• 1 से 99 तक संख्याएं लिखते समय कोई भी एकल अंक (1-9) कुल 20 बार दिखाई देता है।